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개념수학

여러 가지 수학적 증명 방법

by 개념메신저 2022. 9. 27.
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수학적 증명방법을 이해하기 위해 연역, 귀납 등 증명에 쓰이는 용어의 뜻을 먼저 알아야 한다. 연역적 방법과 귀납적 방법으로 증명을 해왔지만, 본격적으로 이것의 이름을 붙이고 사용하는 것이 중고등학교이기 때문에 어렵게 느껴질 수 있다. 하지만, 초등학교 때부터 해왔던 수학 공부는 모두 이것을 포함하고 있었다는 사실은 누구도 깨닫지 못한다.   

증명을 위해 알아두어야 할 여러 가지 수학 용어들

명제는 참 또는 거짓이 명확히 구분되는 문장 혹은 수식이다. 1) 삼각형에는 세 개의 변이 있고 세 개의 꼭짓점이 있다. 2) 사람은 꽃보다 아름답다. 3) 한국에서 가장 아름다운 건축물은 숭례문이다. 4) 1 + 8 = 10 이다. 이런 문장들에서 바로 참과 거짓을 판별할 수 있는 문장은 첫 번째와 네 번째이다. 이는 명제라고 말할 수 있다. 하지만 2)와 3)은 기준이 불명확해서 참인지 거짓인지 알 수 없기 때문에 명제라고 할 수 없다. 

수학에서는 조건이 있다. 조건이 결정되면 참과 거짓이 판별할 수 있게 된다. 예를 들면 'x-5>2'의 부등식은 알 수 없지만 x=5라고 정의되면 이 조건문은 거짓이 된다. 하지만, x = 10 이라면 위의 부등식은 참이 된다. 그래서 '~라면'이라는 부분이 바로 조건이 된다. 

가정과 결론은 가장 많이 쓰이는 수학문장이다. 'a=b이면 a+3=b+3이다.'라는 명제가 있다. 여기에서 'a=b라면 a + 3 = b+3이다.'라고도 말할 수 있다. 따라서 '~이면' 부분이 가정이 되고 그 뒷부분은 결론이 된다. 

 

수학적 귀납법은 귀납적 방법이 아니다

먼저 귀납적인 방법은 여러 가지 예들을 관찰하여 일반적인 속성을 찾아내는 것을 말한다. 가물치도 알을 낳고, 금붕어도 알을 낳는다.  계속 관찰을 통해 알아낸 결과가 '물고기는 알을 낳는다.'라는 결론을 얻었다. 이것이 귀납적인 방법으로 결론을 도출한 것이다. 그런데 개구리도 알을 낳으니, '개구리도 물고기이다.',  '거북이도 알을 낳으니 물고기이다.'라고 하면 결론이 거짓이 되어 버린다. 이런 예들을 반례라고 하는데, 귀납적인 방법은 반례가 1개라도 나타나면 논리가 깨질 수 있다. 

수학에서 귀납적 증명이 있다. 바로 특수한 예들을 통하여 일반적인 법칙을 찾아내는 것을 귀납이라고 한다. 만일 6=3+3, 10=3+7, 12=5+7, 16= 3+13=5+11과 같은 (짝수)=(홀수인 소수)+(홀수인 소수)라는 규칙을 찾았다고 하자. 그러면 30도 될 수 있을까? 30 = 7+23=11+19=13+17처럼 30에서도 이 추측이 맞다고 할 수 있다. 하지만, 이 규칙을 깨질 불안함은 여전히 남아있다. 

반면 연역적인 방법으로 증명하는 것은 이미 알고 있는 지식에 근거하여 논리적인 규칙에 따라 필연적인 결론을 이끌어내는 것을 말한다. 그리고 일반적 사실에서부터 특수한 예시를 들면서 설명하는 것을 연역적인 증명방법이라고 한다. 많이 알려진 연역적 방법으로는 삼단논법이 있다. '모든 동물은 죽는다. 인간은 동물이다. 그러므로 인간은 죽는다.'와 같은 예시이다. 증명해야 할 참인 결론을 부정해 놓고 결론이 모순으로 되어 결국 원래 명제가 참이 되도록 하는 귀류법과 첫 번째 항과 어떤 임의의 항이 참이라는 가정 아래 그다음 항도 참이 된다는 수학적 귀납법이 있다. 

연역적 증명이란 이미 증명된 지식이나 성질들을 이용해 논리적으로 명제가 참임을 증명해 나가는 방법이다. 이 때 증명에 필요한 자료가 바로 정의, 기본 성질, 이미 증명된 정리가 된다. 피타고라스의 정리를 증명한다고 하자. '직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이 각각의 제곱의 합과 같다.'는 것이다. 여기에서 가정은 직각삼각형이다. 즉, 직각삼각형의 성질과 정의가 곧 증명의 자료가 되는 셈이다. 또한 우리가 도형에서 알아야 할 삼각형의 닮음의 정의와 닮음비이다. 만일 이런 방법이 아니라 귀납적인 방법으로 증명하려면 우리는 수많은 직각삼각형을 그려서 증명해야 할 것이다. 하지만, 연역적 방법을 쓰려면 많은 정의와 정리 그리고 성질 등 참인 정리들을 많이 알고 있어야 연역적 증명을 원활하게 할 수 있다. 

삼각형의 내각의 크기의 합이 180도인 정리도 초등학교 때는 삼각형의 3개의 각을 맞추어 보는 것으로 직관적 증명을 할 수 있다. 하지만, 이를 연역적 방법으로 한다면 삼각형의 밑변과 평행한 선을 나머지 꼭짓점을 지나가도록 그은 뒤 동위각과 엇각을 이용하여 증명할 수 있다.   

 

중2 도형의 성질을 증명하기

수학적 귀납법은 도형의 성질을 증명하는 부분에 많이 이용된다. 중학교 2학년 2학기 도형의 성질 단원에서는 삼각형과 사각형의 성질이 어떻게 이루어지는지에 대해 증명하는 것이 많이 나온다. 특히 이등변 삼각형과 직각삼각형의 성질, 삼각형의 외심과 내심에 대한 정리를 배울 때 증명과정을 배우게 된다. 

이때 사용하는 증명이 연역적 방법이다. 가정과 결론으로 놓고 가정을 통해 이미 알려져 있는 공리와 정리, 정의를 이용해 결론에 해당하는 것을 증명한다. 따라서 이 단원에서는 정확하게 알고 있는 정의나 정리가 중요한 포인트라고 할 수 있다.

중학교 수학 중 2학년 2학기에 배우는 도형단원은 추상적인 사고능력이 가장 요구되는 단원이기에 이전 초등 수학과 중1 때 배웠던 도형, 평행선, 선분의 위치, 평면도형에 대한 정의와 성질을 모두 알고 있어야 한다. 또한 대수 부분에서는 비와 비율 부분이 많이 이용된다. 닮음비를 구하는 문제인 경우는 닮음에 대한 정의, 어느 부분이 닮음인지 도형을 돌려보는 공간 시각화 능력, 분수와 소수 계산 능력, 등식의 이해와 같은 선행지식이 필요하다. 

 

 

 

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