이차방정식의 활용 문제를 풀 때의 머릿속 알고리즘

중학교3학년 이차방정식의 활용을 풀 때의 머릿속 알고리즘

이차방정식을 풀기 위해 여태까지 제곱근, 곱셈공식, 인수분해를 향해 열심히 계산에 계산을 거듭했다. 그리고 그렇게 연습한 인수분해가 사실은 이차방정식을 풀기 위한 것이었다는 것을 깨달았다. 그리고, 이제, 학생들이 가장 힘들어 한다는 활용문제를 풀 차례이다. 활용문제는 단순히 계산문제에 그치지 않는다. 문장을 읽고 어떻게 이해하여 이 문제를 수학식으로 표현해 낼 것인가가 가장 큰 문제가 된다. 만일 문제를 제대로 읽지 못하거나, 식을 세우지 못한다거나, 계산을 정확히 하는 습관이 없다거나, 숫자와 문자, 사칙연산의 기호 등을 제대로 쓰지 않는다면 문제를 맞힐 수 없다. 위에 나열된 것 하나라도 빠진다면 그것은 오롯이 한 문제를 맞출 수 없다. 

 

문제와 문제해석

가로의 길이가 세로의 길이보다 5cm만큼 더 긴 직사각형 모양의 종이가 있다. 종이의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 4cm인 정사각형을 잘라 윗면이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들었더니 부피가 \( 600cm^3 \)가 되었다. 이때, 처음 종이의 가로의 길이를 구하시오.

위 문제는 교과서에 있는 문제이다. 교과서를 집필한 사람이 쓴 어휘를 잘 살펴보자. "귀퉁이"라는 말은 요즘에 학생들이 잘 모르는 경우가 많다. 이와 같은 문제는 수학적인 능력보다 국어 능력이 더 요구된다. "직사각형의 네 꼭지점의 끝부분을 말한다."라는 뜻을 알고 있다면 지체없이 그림을 그릴 수 있다. 아니면 "귀퉁이"라는 몰랐어도, 어떤 뜻인지 유추하는 능력을 가지고 있더라면 굳이 저 단어를 몰랐어도 무슨 뜻인지 알 수 있다. 수학에서의 단어는 그 자체가 수학적 어휘가 아니라면 다른 어휘는 문맥 속에서 알 수 있기 때문이다. 

이렇게 단어의 생소함 때문에 멈칫하는 경우, 학생들은 수학식을 어떻게 세울 것인가라는 중요한 수학적 화제에서 멀어지기 마련이다. 그래도 이 문제의 문장들을 다 읽었다면 우리는 위의 문제를 그림이나 도표로 형상화해야 한다. 중학수학 이상에서는 추상적인 사고를 구체화 할 수 있는 능력을 필요로 하기 때문이다. 그림을 제대로 그렸느냐에 따라 수학문제는 한층 더 빨리 문제를 풀 수 있는 실마리에 가까워질 수 있다. 

그리고 가장 중요한, 무엇을 구해야 하는가를 찾아내는 일이다. 그것을 찾아내 당장 미지수로 셋팅해야 한다. 수학의 문장은 매우 명확하고 간결하다. 따라서 목적어를 찾아내기만 하면 된다. 위의 문제에서는 "처음 종이의 가로의 길이를" 구하라고 했으니, 이것을 x로 놓으면 된다. 

 

풀이

이렇게 문제도 해석했고, 무엇을 구하는지도 알았으니, 직육면체 부피를 구하는 공식을 이용해 식을 세워준다. 활용문제에서는 이렇게 문제를 읽고 해석하여 도식화하기, 구하고자 하는 값을 x로 놓기, 식을 세우는 3단계를 거치면 모두 문제를 풀 준비가 끝이 난다. 

식 세우는 것까지 했다면, 계산을 간편하게 할 수 있는 인수분해와 곱셈공식, 그리고 초등학교 때부터 중학교때까지 배웠던 계산을 효율적으로 할 수 있는 각종 공식과 트릭을 사용해 빠르게 풀면 된다. 이 단원에서는 관건이 바로 "식 세우기"이다. 식을 세우고 나서 이것이 이차방정식임을 안다면 이차방정식을 빠르게 풀이할 인수분해를 이용해 x값을 구해내면 된다. 말로는 참 쉽다. 

x="처음 종이의 가로"로 정했기에 세로는 x-5가 된다. 그렇게 직사각형 모양을 네 끝 쪽을 잘라 직육면체로 만들어 부피가 600이 되도록 했으니, 식을 세운다면,

$$ (x-8)(x-8-5)×4 = 600 $$ 

이 된다. 직육면체의 부피 구하는 공식은 가로  × 세로 × 높이니까 그대로 적용하면 된다. 위의 식을 보고 이차방정식이라는 것을 알았다면 바로 좌변의 항이 1개 우변의 항이 1개인 등식으로 이루어져 있어 빠른 계산을 할 수 있음을 알 수 있다. 바로 양 변을 4로 나눠버린다. 그러면 전개하기 전에 숫자가 작아져 계산이 빨라진다. 

$$ (x-8)(x-13) =150 $$ 

이 되고, 전개하여 정리하면 

$$ x^2 - 21x - 46  = 0 $$ 이다. 이는 \( ax^2 + bx + c=0 \) ( \(a \ne  0\), a, b, c 는 상수 )의 이차방정식의 꼴이 나온다. 그러면 곱해서 -46이 나오고 더해서 -21이 되는 두 수를 찾아보면 -2과 -23이다. 

$$(x -2) (x - 23) =0 $$

따라서, 처음 직사각형의 가로의 길이는 23이다. 

이를 다르게 풀 수도 있다. 직육면체의 가로의 길이를 x라고 놓으면 식은, \( x(x-5)4=600 \) 이 되고 이를 정리하면 \(x^2 -5x -150 =0 \) 이며, 인수분해하면 (x-15)(x+10) =0 \)이 되어 직육면체의 밑면의 가로의 길이가 15cm가 나온다. 그러나 직사각형의 가로의 길이를 구하라고 했으므로 양 끝 4cm씩을 더해줘야 한다. 그러면 15+8을 해서 23이 나온다. 

이렇게 어떤 수를 구하려는 x로 설정하느냐 따라서 x값은 달라지고 계산도 달라질 수 있다. 

 

마무리하며

이런 문제를 대할 때 우리는 머릿속에 많은 계산방법이 떠오른다. 하지만 이것은 다 부질없는 짓이다. 문장을 읽고 먼저 무엇을 구해야 하는지부터 정해야 한다. 그리고 나서, 3-4줄에 걸친 문제를 구체화해야 한다. 대부분 이런 글자가 수두룩한 문제는 이 글자들을 수학식, 또는 수학기호로 바꾸는 과정을 겪어야 한다. 문제는 이 과정에서 많은 과부하를 느낀다는 것이다. 이 부분을 견디지 못하고 계속 생각하고 여백에 그 아이디어를 적어놓아야 한다. 그렇지 않으면 머릿속 알고리즘은 금방 흩어져버린다. 여기까지 문장을 수학적 언어로 바꾸는 번역 작업을 했다면 수학 식을 세우기만 하면 된다. 수학 식에서도 수많은 식을 배웠다. 그 중에서 어떤 식을 찾아 세워야 하는지가 중요하다. 이차방정식 단원에서의 활용문제는 당연히 이차방정식이라는 전제를 깔고 있기 때문에, 이차방정식을 풀 수 있는 도구들만 연상하면 된다. 하지만, 단원이 섞여 있는 연합평가와 같은 문제에서는 빠르게 선택하여 시간을 단축시켜야 한다. 물론 시간이 많다면 그럴 필요는 없겠지만, 주어진 시간 내에 빠르게 풀어야 하는 시험에서는 이런 연습이 되어 있어야 한다. 

하지만, 가장 중요한 것은 수학적 의미가 어떤 것인지를 되새기며 먼저 개념을 완벽하다시피 이해하는 것이 선행되고 나서 계산 숙달을 해야 한다. 수학에서 계산 숙달은 많은 부분이 아니지만, 상당부분 숙달과정을 기초로 다음 과정을 이해할 수 있도록 설계되어 있기 때문이다.