약수와 배수 (5_1)_분수 계산의 기초

초등학교 5학년 1학기 2단원 약수와 배수

3학년 1학기에 배운 곱하기와 나누기를 이미 배웠을 것이다. 학년을 훌쩍 넘어 5학년 1학기에는 이 곱셈과 나눗셈의 상반된 관계를 배운다. 5학년 1학기에서는 본격적으로 배우며, 명칭도 제시된다. 

 

약수, 공약수와 최대공약수

약수는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수이다. 

두 수를 동시에 나눌 수 있는 공통된 약수를 공약수라고 하며, 공약수 중 가장 큰 수를 최대공약수라고 한다. 12와 18의 예를 들어보자. 12를 나눌 수 있는 수는 1, 2, 3, 4, 6, 12로 6개가 된다. 구구단을 외운다면 순서쌍으로 만들어서 찾을 수도 있다. (1, 12), (2, 6), (3, 4) 이런 식으로 찾는다면 실수가 훨씬 줄어든다. 18의 약수를 구하면 (1, 18), (2, 9), (3, 6)로 1, 2, 3, 6, 9, 18이 된다. 12와 18을 동시에 나눌 수 있는 수를 찾으면 그 수들이 공통된 약수, 즉 공약수이다. 1, 2, 3, 6은 12와 18의 공약수가 되고 공약수 중 가장 큰 수인 6은 최대공약수가 된다. 예시에서 보다시피, 동시에 나누는 수이기에 최소는 항상 1이 된다. 공약수 중 가장 큰 수를 찾을 수 있기 때문에 명칭이 최대공약수가 되는 것이다. 따라서 두 수의 공약수는 최대공약수의 약수라는 것을 알 수 있다. 

약수를 찾는 문제는 기본적으로 구구단을 습득하고 있어야 하며, 나눗셈을 실수없이 할 수 있어야 한다. 또한 나눗셈을 곱셈으로 나타낸다는 것도 이해하고 있어야 한다. 

두 수의 최대공약수를 찾는 방법은 나눗셈을 거꾸로 하여 몫을 다시 나누는 방법을 사용한다. 이 방법을 초등 2년 동안 사용하는데, 중학교 1학년에 가면 지수법칙을 이용하여 찾을 수 있다. 따라서 이 방법을 충분히 사용하고 인지하고 있어야 이후 중학교 1학년 때 다른 방법으로 사용할 도입으로 활용할 수 있다. 

배수, 공배수와 최소공배수

배수는 어떤 수를 1배, 2배, 3배 ....늘려가는 것이다. 두 수를 배수로 늘려나가다보면 같은 수가 겹치게 된다. 이 공통된 배수를 공배수라고 한다. 두 수는 계속 늘어가기 때문에 최대공배수는 있을 수 없다. 최소의 수만 있을 뿐이다. 그래서 최소공배수라고 한다. 

2와 3의 예를 들어보자. 2의 배수는 2를 1배, 2배, 3배 ...로 곱한 수이다. 그래서 2, 4, 6, 8 .... 로 끝없이 나간다. 3의 배수는 3을 1배, 2배, 3배 ....로 끝없이 숫자가 나열된다. 3, 6, 9, 12....로 수가 계속된다. 그러면 맨 처음으로 같아지는 수 6이 나온다. 이 6을 2와 3의 최소공배수라고 한다. 2의 공배수는 6, 12, 18 .... 로 6의 배수가 된다. 그래서 2와 3의 공배수를 찾으려면 두 수의 최소공배수 6을 찾은 뒤 6의 배수를 찾으면 쉽게 문제를 해결할 수 있다.  

최소공배수를 구하는 활용문제는 많이 접할 수 있다. 바둑돌을 놓을 때 3개는 흰 돌을 놓고 1개는 검은 돌을 놓는 준기와 흰 돌을 4개를 놓고 1개는 검은 돌을 놓는 영미가 있을 때, 같은 자리에 검은 돌을 놓을 때는 몇 번째인지를 물어보는 문제이다. 이 경우에는 준기는 3+1만큼의 계산대로 패턴을 만들고 영미는 4+1만큼의 패턴이 반복되므로 4와 5의 최소공배수를 구하면 검은 돌이 시작되는 개수가 나온다. 즉 둘이 20번째의 돌을 놓았을 때 검은 돌을 동시에 내게 된다. 

 

마치며

 이처럼, 약수와 배수는 단순 계산인 부분이어서 이것이 어떻게 쓰이는지 잘 모르고 계산에 치중하면 이후 약분과 통분부분에서 매우 애를 먹일 것이다. 약수와 배수는 분수 계산의 가장 기초가 됨을 염두에 두고, 이후 나올 약분과 통분에서 어떻게 이용할 것인지 잘 알아두어야 한다. 교과서에서는 계산이 어떻게 이루어지는지, 개념과 실생활에서의 문제를 해결하기 위한 계산이 주로 나왔다. 설명 또한 문제를 해결하기 위한 계산이 효율적인 방법이라는 것을 중점으로 다뤘다. 하지만, 교과서에 있는 그대로 계산 위주로 문제를 대한다면 나중에 다시 공부해야 하는 불상사를 겪을 수 있다.