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개념수학

비례식과 비례배분 6_2 4단원

by 개념메신저 2022. 9. 22.
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6학년 1학기 때 배운 비와 비율, 그리고 백분율을 배웠다. 바로 2학기에 비례식과 비례배분을 배우게 된다. 1학기 때 충분히 개념을 확립하지 않았다면 개념을 한 번 상기한 후 비례식과 비례배분을 배워야 한다. 간단히 정리하자면, 비는 비교하는 양 : 기준량으로 표시할 수 있고 비율은 비교하는 양을 기준량으로 나눈 값이다. 

그렇다면, 우리는 이런 문제를 더 발전해서 생각해볼 수 있다. 편백나무 숲에서 음악 공원까지의 거리가 얼마일까? 사진기로 찍은 사진을 컴퓨터 화면에 옮겨 사진의 가로와 세로의 비율을 비교하여 식으로 나타내어 볼까? 전기 자동차가 500km를 달리려면 몇 분 동안 충전해야 할까? 한 모둠일 때와 두 모둠일 때 필요한 유리 막대 수와 비커 수의 비율을 비교해 볼까? 빵 10개를 3:2로 나누어 가지려면 어떻게 나누어야 할까? 가구 모형 8개를 만들려면 나무판 몇 개가 필요할까? 

우리는 세 가지의 목표를 제시할 것이다. 첫째, 주어진 비를 간단한 자연수의 비로 나타내기 둘째, 비례식의 표현과 풀이, 셋째, 비례식과 비례배분은 실생활에서 활용하기이다.

 

비례식

딸기 주스 1병을 만드는데 딸기 원액이 3병, 물의 양이 4병이 필요하다고 하면 우리는 딸기 주스를 만드는 비는 3:4 이라고 말한다. 만일 2병을 만든다고 하면 물의 양은 8병, 딸기 원액은 6병이 필요하다. 딸기 주스 1병을 만드는 비율은 \( \frac {3}{4}\) 이고 딸기 주스 2병을 만들 때도 비율은 \( \frac {6}{8}\) 이 필요하다. 어쨌든 비율은 똑같이 \( \frac {3}{4}\)이다. 3:4와 6:8에서 콜론(:) 앞의 수를 전항, 콜론(:) 뒤의 수를 후항이라고 한다. 3:4의 전항에 2를 곱하면 6:8의 6과 같다. 마찬가지로 3:4의 후항인 4에 2를 곱하면 6:8의 후항인 8과 같다. 이처럼 비의 전항과 후항을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 비율은 같게 되는 비의 성질을 확인할 수 있다.

비누를 만들려고 물과 폐식용유를 섞는데 물 1.4L와 폐식용유 6.3L가 필요하다고 하자. 그러면 비누를 만들기 위해 비를 쓰면 1.4L : 6.3L가 된다. 각 항에 똑같이 10을 곱하면 14:63이 된다. 다시 7로 각 항의 수를 나누면 2:9가 되어 가장 간단한 자연수의 비로 나타낼 수 있다. 분수인 경우에도 가장 간단한 자연수의 비로 나타낼 수 있다. 리본을 만들기 위해 끈을 사용했다. 전체의 \( \frac{1}{3}\)을 사용하여 꽃대를 만들고 전체의 \( \frac{1}{4} \)를 사용하여 리본을 만들었다. 꽃대와 리본의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어보자. 그러면 자연수로 만들기 위해 3과 4의 최소공배수인 12를 각각 곱한다. 그러면 4:3이 된다. 또한 소수와 분수의 비일 경우에도 소수나 분수로 나타낸 다음 간단한 자연수의 비로 나타낼 수 있다. 

이렇게 된 비를 등식으로 나타낼 수 있다. \( \frac{1}{3} \) : \( \frac{1}{4} \) = 4 : 3이라고 쓸 수 있다. 이를 비례식이라고 한다. 비례식의 바깥쪽에 있는 숫자를 외항, 안쪽에 있는 숫자를 내항이라고 한다. 

비례식은 외항의 곱과 내항의 곱은 그 값이 같다. 또한 전항과 후항에 같은 수로 곱하거나 나누어도 그 비율은 같다. 다음은 비례식을 이용해서 풀 수 있는 문제들이다. 

12분 충전하면 쓸 수 있는 밧데리는 150시간 쓸 수 있다. 500시간을 쓸려면 몇 분을 충전해야 할까?

염색을 위한 염료 100g에 물 4L가 필요하다 염료가 25g 있다면 물은 몇 L가 필요할까?

김밥 2인분을 만드는 데 밥이 400g 필요하다 김밥 5인분을 만들려면 밥을 몇 g을 준비해야 할까?

비례배분

비례배분은 전체를 주어진 비로 배분하는 것을 말한다. 전체 양을 비에 맞춰서 배분하는 것이다. 빵 10개를 똑같이 나누는 것이 아니라 윤기와 이슬이가 3:2라는 비로 나누어 가지려고 한다. 그러면 5개 중 3개를 가지고 이슬이는 2개를 가지는 꼴이 되므로 윤기는 전체 10개의 빵의 \( \frac{3}{5} \)를 가지고 이슬이는 전체 빵 10개의 \( \frac{2}{5} \)를 가지게 된 셈이다.  

사탕 18개를 나누어 가지려고 한다. 사탕 18개를 2 : 7 로 나누어 봅시다.

밀가루 반죽 960g을 3 : 5나눠 별 모양과 사각형 모양을 만들려고 한다. 각각 사용되는 밀가루 반죽 양은 어떻게 구할까?

 

비와 비율 그리고 비례식과 비례배분

6학년 전체를 통틀어 배우게 되지만, 이 단원은 매우 중요한 단원이다. 분수와 소수의 개념, 곱하기와 나누기의 개념이 모두 들어가 있기 때문이다. 그리고 분수에서 배웠던 고유의 개념이 아니라 부분과 전체로써의 기능을 하는 분수로써의 기능에 대해 배우기 때문에 이 부분은 수 추상능력을 많이 필요로 한다. 수량과 수에 대한 개념이 확실하지 않을 경우나 계산에 치중할 경우 이 부분에서 많이 헤매게 된다. 개중에는 너무 쉽다고 등한시 여기는 경우가 있으므로 기본적인 개념을 확실히 이해하고 넘어가야 나중에 어려워하지 않는다. 

 

 

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