비와 비율 6_1

비와 비율이 쓰이는 때는 언제일까? 컴퓨터에 글씨체의 가로, 세로의 비율을 조정할 때, 포도 주스 3병을 만들기 위해 필요한 물과 포도 원액이 각각 몇 컵씩 필요한지 알아볼 때, 티셔츠와 바지의 판매율을 어떻게 비교할지 알고 싶을 때, 도넛 10개를 팔았을 때 판매한 도넛 수는 처음에 있던 도넛 수의 몇 배가 될지 알아볼 때, 2000원짜리 모자를 1500원에 팔 때와 500원짜리 양말을 200원에 팔 때의 할인율이 더 높은 것은 어떤 것일지 알아볼 때 등 생활에서 헤아릴 수 없이 많이 쓰인다. 

 

미리 알고 있어야 하는 내용

5학년 1학기 때 규칙과 대응을 이해하고 있어야 한다. 노란 사각판의 개수가 1개일 때 초록색 사각판의 개수가 3개이다. 초록색 사각판이 2개일 때, 초록색은 4개이다. 이것을 식으로 나타내면

(노란색 사각판의 수) + 2 = (초록색 사각판의 수)가 된다. 이 식에서 규칙은 노란색 사각판의 수에서 2만큼 커지면 초록색 사각판의 개수가 된다는 것이다. 노란색과 초록색을 표로 만들었을 때 대응표를 이해하고 작성할 수 있어야 한다. 또한 약분과 통분을 알고 있어야 하며 분수와 소수의 관계를 이해하고 있어야 한다. 예를 들면 \( \frac {1}{10} \) = 0.1이라는 것을 알고 있어야 하며 이를 수직선에서도 나타내었을 때 무슨 의미인지 알고 있어야 한다. 비와 비율 단원에서는 첫째, 두 수의 크기를 비교하는 것을 배운다. 둘째, 비와 비율을 표현하는 것을 배운다. 셋째, 비율을 실생활에서 사용하는 것을 배운다.

 

두 수의 비교

두 수를 비교하는 상황이 제시된다. 학교에서 시장놀이를 준비하려고 모둠에서 준비하는 사람과 판매하는 사람의 역할을 주려고 한다. 한 모둠에서 준비하는 사람과 판매하는 사람의 수를 비교하려고 하는 것이다. 준비하는 사람은 6명, 판매하는 사람은 3명으로 한다. 여러 가지 방법으로 비교할 수 있다. 여태까지 배운 사칙연산을 통해 비교할 수 있다. 준비하는 사람과 판매하는 사람을 대응표로 만들어서 비교할 수 있다. 

 

준비하는 사람과 판매하는 사람의 명 수를 비교한 표

규칙을 발견했을 때 사칙연산 중 나눗셈으로 비교하면 관계가 일정하다는 것을 알 수 있다. 

예를 들어 높이 300cm인 나무가 있다. 낮 12시에 나무의 그림자 길이를 재어 보니 100cm가 되었다. 나무의 높이와 그림자의 길이를 비교해보자. 나눗셈으로 하면 300=100÷3 으로 나타낼 수 있다. 

 

비

그렇다면 두 가지의 수가 있을 때, 나눗셈으로 크기를 어떻게 비교할 수 있을까? 딸기주스 1병을 만들기 위해 물 3컵과 딸기 원액 2컵을 넣어 만든다고 하자. 그렇다면 물의 양과 딸기 원액의 양을 비교하려면 어떻게 비교할까. 

딸기 주스를 만들기 위해 필요한 물의 양과 딸기 원액을 나타낸 대응표

두 수를 나눗셈으로 비교하기 위해 기호 :을 사용해 나타낸 것을 비라고 한다. 두수 3과 2를 비교할 때 3:2라고 쓰고 3대 2라고 읽는다. 3:2를 읽을 때는 "3과2의 비", "3의 2에 대한 비", "2에 대한 3의 비"라고 읽는다. 콜론(:) 앞 쪽에 있는 수는 비교량이고 뒤 쪽에 있는 수는 기준량이다. 

예를 들면 1,000원을 팔면 300원을 기부한다고 할 때 기부금액과 판매 금액을 비교할 때, 300:1,000 이라고 비를 쓸 수 있다. 또, 50m 장애물 달리기를 하고 있는데, 장애물은 출발점에서 30m 떨어진 거리에 있다면, 출발점부터 장애물까지 거리와 장애물에서 도착점까지 거리의 비를 구하면 30:20이 된다.   

비율

두 수의 비에서 비교하는 양이 기준량의 몇 배인지 알고 싶을 때, 비율을 쓴다. 예를 들어 도넛 20개 중 10개를 판매했을 때 판매한 도넛은 처음에 있던 도넛 수의 몇 배인지 알고 싶을 때 비율을 쓰면 알 수 있다. 비로 나타내면 10 : 20 이 된다. 그러면 판매한 도넛 수는 처음에 있던 도넛 수의 \( \frac{10}{20} \)이 된다. 즉 \(\frac{1}{2} \) 이 되는 것이다. 소수로는 0.5가 된다. 다른 예를 들어보면 직사각형 모양의 액자가 있다. 1번 액자는 가로가 25cm, 세로가 20cm가 있다. 2번 액자는 가로가 15cm, 세로가 12cm인 경우가 있다. 세로에 대한 가로의 비율을 비교해 보자면 1번은 25 : 20 이므로 \( \frac {25}{20} \)가 된다. 2번 비율은 \( \frac {15}{12} \)가 된다.  

다른 예시도 있다. A조와 B조는 다른 방을 사용했다. A조는 6명이고 8인실을 사용하고, B조는 3명이 6인실을 사용했다. A조와 B조 중 어느 조가 방이 넓다고 느꼈을까. A조는 6 : 8 이므로 비율은 \( \frac {6}{8} \)이고, B조는 3 : 6 이므로 \( \frac {3}{6} \)이다. 따라서 A조가 더 넓다고 느꼈을 것이다. 비율이 사용되는 경우는 서울에서 광주까지 약 300km 가는데 걸린 시간은 2시간이다. 걸린 시간에 대한 간 거리의 비율은 300 : 2라고 표시할 수 있다.

넓이에 대한 인구의 비율을 구할 때도 있다. 서울 인구는 9857000명에 넓이 605제곱킬로미터, 강원도는 1550000명에 16875제곱킬로미터라고 한다면 서울의 넓이에 대한 인구의 비는 9857000 : 605이고 \( \frac {9857000}{605} \)가 비율이 된다. 강원도의 넓이에 대한 인구의 비는 \( \frac{1550000}{16875} \)이다. 각 비율이 나타내는 의미는 1제곱킬로미터마다 사람이 차지하는 수가 된다. 사회과목에서는 이를 인구밀도라고 말한다. 

미술시간에 회색 물감을 만들기 위해 흰색 물감과 검은색 물감을 섞는다고 하자. 더 어두운 회색을 만들 때 두 물감을 얼마나 섞으면 좋을까? 유리는 흰색 200mL에 검은색 6mL, 라미는 흰색 250mL에 검은색 10mL를 섞었다. 흰색 물감 양에 대한 검은 색 물감 양의 비는 각각 6 : 200, 10 : 250이 된다. 따라서 유리는 \( \frac{6}{200} \) = 0.03, 라미는 \(\frac{10}{250} \)이 되어 라미가 만든 회색 물감이 더 어두운 색이 되었다. 

이외에도 전체 타수에 대한 안타 수의 비율로 야구  선수의 타율을 구할 수도 있다. 실제 거리에 대한 지도에서의 거리의 비율로 축척을 나타낼 수도 있다. 소금물 양에 대한 소금 양의 비율로 소금물의 진하기를 알 수 있다. 

 

백분율

백분율은 실제 생활에서 정말 많이 쓰인다. 마찬가지로 백분율은 비율과 같다. 50벌의 티셔츠 중 40벌을 판매했고, 바지는 20벌 중 17벌이 판매되었다고 하자. 그러면 티셔츠와 바지 중 누가 더 많이 팔았을까?

각각 판매 비율을 따져보면 티셔츠는 \( \frac {40}{50} \)이고, 바지는 \( \frac {17}{20}\)이다. 그러면 티셔츠와 바지 중 어떤 상품이 더 많이 팔렸는지 알 수 없다. 그렇기 때문에 기준량을 100으로 맞춰놓은 비율을 보면 비교하기가 편하다.

그래서 기준량을 100으로 할 때의 비율을 백분율이라고 다시 만들었다. 백분율은 기호로 %를 사용하여 나타내고 비율 \( \frac {85}{100} \)를 85%라 쓰고 85퍼센트라고 읽는다. 이를 적용하면 티셔츠는 80%가 되고, 바지는 85%가 되어 바지가 더 많이 팔린 셈이 된다. 팔린 갯수로는 티셔츠가 더 많이 팔렸지만, 두 상품 모두 100벌이 있었다고 가정하면 바지는 85벌 팔렸을 것이라 가정하게 되어서 판매율이 높다고 말한 것이다. 백분율을 공부할 때 잘 이해가 안 간다면 모눈종이를 이용하면 편리하다. 모눈종이는 가로, 세로를 직관적으로 볼 수 있기 때문에 금방 이해할 수 있다.  

화단의 넓이가 14제곱미터, 텃밭의 넓이는 25제곱미터라고 하면 화단의 넓이는 텃밭 넓이의 얼마인지 백분율로 나타내 볼 수 있다. 이런 계산을 통해 화단이 텃밭보다 얼마나 좁을지 알 수 있다. 비교량이 화단이 되므로 비는 14 : 25, 비율은 \( \frac {14}{25} \), 백분율은 \( \frac {56}{100} \)이 되고, 이를 소수로 고치면 0.56이 된다. 이를 나타낼 때 모눈종이를 이용하여 색칠해 보면 눈으로 쉽게 알 수 있다. 

백분율이 사용되는 경우는 기준량이 다를 때, 100으로 통일해서 쉽게 알 수 있도록 한다. 선거 투표 500명이 참여했을 때 각 후보의 득표율을 알아볼 수 있다. 과학시간에 소금물을 만들어 용액이 얼마나 진한지에 관한 실험을 했을 때이다. 유라는 소금 60g을 녹여 소금물 300g을 만들었고, 미라는 소금 100g을 녹여 소금물 500g을 만들었다. 누가 더 소금물이 진할까? 유라는 \( \frac {60}{300} \), 미라는 \( \frac{100}{500} \)이 된다. 소금물 양에 대한 소금 양의 비율에 100을 곱하면 100을 기준으로 했을 때의 비교량이 백분율로 나타난다. 둘의 백분율을 구하면 20%로 나타나게 되어 소금물의 농도는 같게 된다. 

 

실생활 문제

1. 빨간색 종이 4장과 초록색 종이 1장으로 접시를 만들려고 한다. 빨간색 종이의 수와 초록색 종이의 수를 뺄셈과 나눗셈으로 비교해 보자. 빨간색 종이와 초록색 종이의 비로 나타내보고, 비율로도 나타내 보자.

2. 청소인원 20명 중 여자는 8명이다. 전체 청소인원수에 대한 남자 청소원 수의 비를 써 보자.

3. 유라와 미연은 농구공 던지기 게임을 했다. 유라는 공을 30번 던져서 21번을 넣고, 미연은 15번 던져서 12번을 넣었다. 두 사람의 성공률을 비교하자.

4. 인형을 만드는 공장에서 500개를 만들면 불량품 10개가 나온다. 전체 인형 수에 대한 불량품 수의 비율을 백분율로 나타내어 보자.

5. 낮 1시에 유미와 동생의 그림자 길이를 쟀다. 유미와 동생의 키에 대한 그림자 길이의 비율을 각각 구해보자. 두 비율을 비교하고 알게 된 것을 설명해보자.

6. 문구점에서 샤프와 지우개를 사려고 한다. 샤프는 500원인데 250원에 팔고 지우개는 1000원인데 600원에 판다. 샤프와 지우개의 할인율을 백분율로 각각 나타내어 보고 어느 것의 할인율이 더 높은지 알아보자.

비와 비율에서의 포인트는 어떤 때 비를 쓰고 어느 때 비율을 쓰는지 아는 것이 중요하다. 또한 비와 비율의 차이점과 장점을 아는 것이다. 또한 비는 쓰는 법과 읽는 법을 잘 알아서 비교하는 양과 기준 양을 정확히 알아야 할 것이다.