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개념수학

이차함수가 돈과 관련이 있다?

by 개념메신저 2022. 10. 24.
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3학년 1학기의 끝단원은 바로 이차함수와 이차함수의 활용 단원이다. 이차함수는 고등학교에서 배울 삼차 함수, 4차 함수의 기초가 된다. 그렇기에 이차함수를 잘 이해하고 있어야 한다. 

 

목차에서 보듯 우리는 곱셈공식, 인수분해를 거쳐 이차방정식을 풀고 이차함수에 이른다. 이 단원은 길게 1학기에 걸쳐 배우지만, 사실 별거 없다. 이차함수는 대응 표로 함수 식을 만들어 내고, 함수 식을 보고 그래프를 그릴 수 있으면 되는 것이기 때문이다. 

 

이차함수를 위한 여정
이차함수를 위한 여정

이차함수는 왜 배우는가?

학생들에게 도전적인 질문을 받는다. 대부분 넓이에 의한 계산으로 많이 계산문제가 나온다. 넓이 구하는 것이 뭐 그리 쓸모가 있겠는가? 있다. 면적을 구하는 것은 곧 '부'와 관련이 있기 때문이다. 옛날 사람들은 땅에 관심이 많았다. 효율적으로 면적을 구해서 세금을 산출하거나 곡식의 양을 알아보기 위한 용도로도 쓰였다. 전쟁을 하면 땅 넓이가 얼마인지 계산해야 했기에 그 또한 중요했다. 이렇게 중요한 지식인데, 배워두면 쓸모가 있지 않을까? 땅부자가 되고 싶다면, 땅에서 나는 곡식의 양을 예측해서 사업을 하려면 필요하지 않을까? 물론 나는 그런 것 하지 않을 테니, 이런 것은 필요가 없지 않으냐고 할지도 모른다. 하지만, 사장이 되지 않는다면 사원일 텐데, 사원이 이런 능력을 갖춰야 한다면 배워야 하지 않을까? 써먹기 위한 것이 아닌, 회사에 들어가기 위한 조건으로 한다면 이것을 안 할 수가 없을 것이다. 문제는 이제 이런 이차함수는 컴퓨터 프로그래밍으로 모두 할 수 있다는 것이라 직접적으로는 써먹지 않는다. 

 

그럼 배울 필요가 없을까? 

알아야 부릴 수 있다. 수학의 위계성이 프로그래밍하는 순서와 닮아 있기에 수학을 모르면 프로그래밍도, 그것을 관리할 수도 없게 된다. 이래저래 함수는 꼭 알아야 할 필수 교양이 되어가는 중이다.

 

이차함수를 위해서는 무엇을 알아야 하지?

곱셈공식과 인수분해, 이차방정식을 풀 수 있어야 한다. 이 세 가지는 결국 이차함수를 이해하고 그래프를 그리는 데 도구에 불과하다. 그렇기에 연산에 불과한 저것들을 바로 풀어낼 수 있고, 풀어낸 답이 무엇을 의미하는지 알고 있어야 한다. 예컨대, 인수분해를 하라는 것인지, 이차방정식의 해를 구하라는 것인지 정확히 알고 문제의 답을 써야 한다는 것이다. 또한 '식'과 '등식'의 차이도 명확히 알고 있어야 한다. 이 둘의 차이를 구분하지 못해 식을 써 내려가는 것에 많은 오류를 보인다. 

 

먼저 그래프를 그리기 위해 함수식으로 대응 표를 만들어 본다. 대응 표로 좌표평면에 점을 찍어본다. 이 과정에서 꼭짓점을 기준으로 양쪽이 좌우대칭임을 알 수 있다. 그리고 꼭짓점으로부터 좌우대칭의 각 점은 직선이 아니라 곡선으로 그려진다. 직선이라면 x값의 증가량과 y값의 증가량이 일정해야 하는데, 그렇지 않다. 이 과정은 거짓인 가정을 참이라고 놓고 직선의 기울기처럼 계산하면 계산 값이 맞지 않음으로 가정에 모순인 결론으로 증명할 수 있다. 

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https://math-history.tistory.com/entry/%EC%97%AC%EB%9F%AC-%EA%B0%80%EC%A7%80-%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81-%EC%A6%9D%EB%AA%85-%EB%B0%A9%EB%B2%95

 

여러 가지 수학적 증명 방법

수학적 증명방법을 이해하기 위해 연역, 귀납 등 증명에 쓰이는 용어의 뜻을 먼저 알아야 한다. 연역적 방법과 귀납적 방법으로 증명을 해왔지만, 본격적으로 이것의 이름을 붙이고 사용하는 것

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이후에는 x절편과 y절편을 그래프로 확인할 수 있다. 그래프에서 확인된 x절편과 y절편을 함수식에서 어떻게 확인되는가 알아보아야 한다. 꼭 그려보고 확인해 보아야 한다. 왼쪽에는 함수 식, 오른쪽에는 그래프를 보고 서로 비교하면 어떻게 그려지는지 바로 확인해야 한다. 그래서 나중에는 함수 식을 보고 x절편을 구하면서 머릿속으로는 그래프도 함께 연상이 되어야 하고, 그래프 개형과  y절편이 바로 연상되어야 한다. 

 

모둠으로 활동하면 서로 배운다.

모둠활동으로 이차함수가 왜 곡선이 되는가, 이차함수에서 찾을 수 있는 사실은 무엇인가, x절편을 구하려면 함수식이 어떻게 변하는가, x절편을 가지고 꼭짓점을 그리고 그래프를 완성시킬 수 있는가 등에 대한 활동을 하면 서로 설명해주고 서로 모르는 것을 깨닫게 된다. 만일 모둠에서 그런 활동이 진전이 일어나기 힘든 상황이라면 어쩔 수 없이 교사가 설명하면서 개별학습으로 갈 수밖에 없지만, 모둠활동으로 구성원을 섞어서 계속 설명해주다 보면 잘 알고 있는 학생은 자신의 지식을 공고히 할 수 있어서 좋고, 잘 모르는 학생은 학생들의 언어로 이해하면서 문제를 풀 수 있게 된다. 

 

함수는 고등수학에서 가장 기본이다.

함수는 대수부분에서 가장 기초적인 개념으로 만들어진 식과 같다. 마치 이제 막 기초공사를 마친 다져진 땅과 같다. 그 위에 건물을 세우려면 기초바닥이 탄탄해야 하는 것과 마찬가지로 중3까지 배우는 일차함수와 이차함수는 아주 중요한 씨앗과도 같다. 그러니, 고등 선행 나가기 전에 일차함수와 이차함수에서 나오는 용어와 그래프 그리기는 금방 해결할 능력을 갖추는 것이 중요하다.

 

 

 

 

 

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