이차방정식의 해와 제곱근의 관계

이차방정식을 풀이하는 방법은 여러 가지입니다. 한 가지 방법만이 있는 것이 아닙니다. 중학교 때 여러분은 이차방정식의 해를 구하기 위해서 공식을 외웠을 것입니다. 하지만, 여러 가지 방법을 익힌 뒤에 어떻게 푸는 것이 가장 좋은지에 대해 생각하고, 좀 더 효율적인 방법을 선택하는 것을 익히는 것이 좋습니다. 

 

이차방정식과 제곱근의 관계

이차방정식의 원리

이차방정식의 해는 정사각형의 모양의 땅의 한 변의 길이를 구하는 것이라고 말할 수 있습니다. 정사각형을 이루는 네 개의 변이 모두 같은데, 정사각형의 넓이를 구할 때, 우리는 한 변의 길이를 두 번 곱하는 것입니다. 그래서 한 변의 길이가 4라면 4 × 4 = 16이라고 계산을 하게 되죠.

사람들은 정사각형의 넓이를 안다면 한 변의 길이를 구할 수 있습니다. 일일히 계산하면 힘드니까, 식을 만들어 낸 것입니다. 마치 라면 만드는 기계를 사면 어떤 라면이든 만들 수 있지 않겠습니까? 식은 그런 용도입니다. 

모르는 것을 x라고 해 두면 식은 \(x^2 = 16\) 이라 할 수 있습니다. 똑같은 것을 곱해서 16이 되는 수가 무엇입니까? 네, 4가 되죠. 이렇게 x의 값을 구하기 위해 이차방정식은 태어났습니다. 여기에서 파생되는 것이죠. 여러 가지 공식과 계산법 말입니다. 

 

 

그래서 생긴 여러 가지 식

그렇다면 이번에는 정사각형의 넓이가 아니라, 직사각형의 넓이를 알고 있을 때 한 변의 길이를 어떻게 구할 수 있을지 생각해봅니다. 

원래의 정사각형의 모양의 땅에서 가로의 길이는 3만큼 더하고 세로의 길이는 2만큼 뺐다고 생각해 봅시다. 그러면 식은 \(x^2 = 16\) 에서 \((x+3) (x-2) = 16\) 이 됩니다. 또 다른 방법으로 식을 만들 수 있습니다. 

정사각형의 모양의 땅을 가로 3, 세로 3만큼 똑같이 늘렸다고 하면, 식은 \((x+3) (x+3) = 16\)  이 됩니다. 또, 3만큼 똑같이 줄였다고 해보겠습니다. 그러면, \((x-3) (x-3) = 16\) 이 됩니다. 만일 가로 3만큼 더하고 세로 3만큼 빼면 어떤 식이 나오겠습니까? 네, \((x+3) (x-3)=16 \) 이 됩니다. 마지막으로 가로의 길이를 2배 한 다음 3만큼 더하고, 세로의 길이를 3배 한 후 1만큼 뺀다면 \((2x +3 ) (3x-1) = 16\) 이라는 식을 만들 수 있습니다. 이처럼 정사각형의 넓이를 가지고 가로와 세로의 길이를 조절해 원래의 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 것을 해결할 수 있습니다.  

이차방정식의 가장 기본 해법

바로 제곱근의 뜻을 이용하는 것입니다. 이 방법을 쓰려면 좌변에는 항상 어떤 수의, 혹은 어떤 식의 제곱꼴로 되어 있어야 합니다. 그게 전제조건입니다. 이 방법은 후에 이차함수에서 그래프를 그릴 때 유용하게 쓸 수 있습니다. 따라서 \((x에 관한 어떤 일차식)^2 = 상수 (상수는 실수)\) 인 꼴이 되어야 제곱근의 뜻을 활용하여 쓸 수 있습니다. 이때, 좌변에 있는 식을 "완전제곱식"이라고 부릅니다.  

 예를 들어보겠습니다. \(2(x-1)^2 = 5\) 라는 이차방정식의 해를 구해 봅시다. 이 때 전개하여 근의 공식을 써도 됩니다. 하지만, \((x-1)^2 \)이 제곱으로 표현되어 있으니 5에 루트\( \sqrt{}  \)를 씌워주면 됩니다. 하지만, 또 주의해야 할 점은 \((x-1)^2 \) 앞에 계수 2가 곱해져 있습니다. 그래서 완전히 제곱근을 만들려면 계수 2가 없어진 상태여야 합니다. 따라서 등식의 성질을 이용하여 양변에 각 2를 나눠줍니다. 그러면 좌변은 \((x-1)^2\)만 남게 되고 우변은 \( \frac{5}{2}\)가 될 것입니다. 이 상태에서 제곱근의 뜻을 이용한다면 \( x -1 =\pm \sqrt{\frac {5}{2}} \) 가 될 것입니다. 이 상태에서 양변에 1을 더해주면 드디어 우리가 원하던\(x \) 값을 구하게 되는 것입니다.

 

$$ x = 1 \pm \sqrt{\frac {5}{2}} $$ 

  

이렇게 구한 식에서 한 번 더 분모의 유리화를 해줍니다. 

 

$$ x = 1 \pm \frac { \sqrt {10}}{2} $$

이차방정식의 또 다른 해법 

이 기본 방식을 따를 때는 전제조건이 있었습니다. 좌변이 무조건 완전제곱식이어야 합니다. 하지만, 이차방정식의 일반형 꼴일 때는 어떻게 하겠습니까? 일부러 완전제곱식으로 만들기엔 너무 복잡할 때가 있습니다. 일차항의 계수가 홀수이거나, 더 심할 경우는 이차함수 식에서 이차항의 계수가 1이 아닌 경우입니다. 그렇기에, 일반형인 \( ax^2 + bx + c = 0, (a \ne 0, a,b,c는 상수)\) 라는 형태일 때 유용한 방법입니다. 우리가 잘 알고 있는 근의 공식이죠. 

 

이런 2가지 방법으로 이차방정식을 풀 수 있습니다.