이차방정식 곱셈공식의 원리

누구나 알고 있는 이차방정식의 곱셈 공식은 사실 초등학교 수학의 세로 셈을 이용해도 쉽게 알 수 있다. 또한, 지난번에 말했던, 정사각형의 넓이를 직사각형의 넓이로 만들었을 때, 처음 정사각형의 한 변의 길이를 구할 때로 설명할 수 있다. 

 

 

 

이차방정식의 곱셈공식

정사각형 길이를 x라고 하자.  

처음 정사각형 길이를 x라고 한다면, 앞서 설명한 것처럼 가로와 세로의 길이를 줄이거나 늘려서 새로운 직사각형 모양을 만들 수 있다. 

정사각형 한 변의 길이를 늘여 만든 직사각형

 

그러면 이렇게 4개의 사각형이 생긴다. 원래 3번 정사각형에서 가로 3 늘리고, 세로 2 늘려서 만든 직사각형 넓이가 20이다. 그러면 이 사각형의 넓이를 구하기 위해 어떻게 식이 변화되었는지 살펴본다. 먼저 식을 세워보면 

$$ (x+3)(x+2) = 20 $$

 와 같다. 이 식을 각각 세로 식으로 써서 계산할 수 있다. 

         x+3

         x+2

-----------------------

        2x+6  ----------a

x^2+3x       ----------b

--------------------

x^2+5x+6

 

계산식 a에서는 2x가 6이 그림에서 가리키는 것이 빨간 1번과 빨간 2번의 넓이값이다. 계산식 b에서는 x^2은 빨간 3번이고 3x는 빨간 4번이 된다. 그래서 항이 4개가 나오는 것인데, 동류항이 2개가 나왔으므로 항은 총 3개가 되는 것이다. 따라서 2개의 항 곱하기 2개의 항은 총 4개의 항이 나오고, 그중 동류항이 2개이므로 이차항, 일차항, 상수항으로 만들어진 식이 완성되는 것이다.  

곱셈 공식을 말하기 전에 이 전개식을 통해 규칙을 찾아내는 것이 중요하다. x의 계수가 모두 1이기 때문에 원래 일차식에서의 상수항의 합에 일차항을 더하면 나온다는 것을 알 수 있다. 

$$ (x+a) (x+b) =x^2 + (a+b)x + ab $$

임을 확인할 수 있다. 하지만, x의 일차식으로 되어 있지 않은 경우, 원래 전개식을 따라서 풀어야 한다. 즉, (a+b)(c+d)를 전개하려면 ac+ad+bc+bd라고 전개해야 한다. 또한 알파벳 순서대로 답을 적어야 한다. 

 

5개의 곱셈공식

첫 번째는 완전제곱식의 전개식이다. 

$$ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $$ 

여기서 주의해야 할 점은 a의 계수가 있을 때, 그 계수도 반드시 제곱을 해줘야 한다는 것이다. 예를 들어 \((2x+1)^2\) 를 전개할 때, \(2x^2 +4x + 1\) 로 쓰면 안 된다.  \(4x^2 +4x + 1\)  로써 주어서 x의 계수도 제곱을 해주어야 한다. 

 

두 번째는 합과 차의 곱의 전개식이다. 

$$ (a+b)(a-b) = a^2 -b^2 $$

여기서 특이한 점은 두 일차식의 항의 절댓값은 모두 같다는 점이다. 전개를 해보면 \(a^2 + ab -ab +b^2\) 으로 나타나기 때문에 일차항의 동류항이 0이 된다. 따라서 결괏값은 제곱의 차로 표현된다.

 

세 번째는 x의 계수가 1이면서 상수항이 다른 일차식의 곱인 경우이다. 

$$ (x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x + ab $$

로 전개된다. 이 식은 x항의 최고차 항의 계수가 1이어서 상수항을 더한 수가 일차 항의 계수가 되고 상수항의 곱은 전개된 식의 상수항이 된다. 이 식은 후에 이차함수에서 x절편을 구할 때도 쓰이고 함수의 그래프와 두 근의 관계를 알아볼 때도 쓰이므로 중요한 공식이 된다. 

 

네 번째는 x의 계수가 1이 아닌 두 일차식의 곱을 전개하는 것이다. 이 식의 공식은 일차식 그대로의 식을 각각 전개하는 것이므로 공식이라고 할 것도 없다. 

$$ (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd $$

로 나타낸다.  그대로 전개하지만, 이것도 일차항에 동류항이 2개 생기기 때문에 계산할 때 실수하지 않도록 한다. 

이차방정식의 곱셈 공식은 공식이라고 할 것도 없다.

왜냐하면 이차함수를 위해 x값을 구하는 하나의 도구이기 때문이다. 그러니, 이차방정식의 해를 구하기 위해서 너무 많은 계산은 금물이다. 이차함수에서 어떻게 이차방정식이 도구로 쓰이는지에 대해 더 생각을 많이 해야 한다. 이차방정식 단원에서는 전개와 인수분해를 원활하게 할 수 있고, 이 도구를 이용해 이차함수를 빠르게 구하거나, 이차함수의 그래프를 그리거나 이차함수의 순서쌍을 구하는 데 어떻게 쓰이는지 잘 알 수 있도록 초점을 맞추어 공부를 해나간다.