초6 2학기 분수의 나눗셈 교과서의 설명

6학년의 마지막, 분수도 사칙연산의 마지막인 나눗셈을 하게 된다. 분수는 3학년 1학기에서 처음 소수와 함께 개념만 설명하는 것으로 시작되어 6학년 2학기 분수의 나눗셈으로 정점을 찍는다. 교과서에는 어떤 방식으로 설명이 되어 있는지 6학년 2학기 수학 교과서에 나온 개념을 한 번 살펴보고자 한다.

 

초등학교6학년 2학기 분수의 나눗셈 교과서 설명

 

 

분수끼리 나눈다는 의미.

$$ \frac{3}{6} \div \frac{1}{6} $$

맨 처음 이렇게 제시된다. 분모가 같을 때, 그 몫은 무엇인가. 1개를 6조각으로 나눠 그중에 3조각이 있다. 그리고 똑같이 1개를 6개로 나눈 1개의 조각으로 나눴을 때, 몫이 얼마인가. 그래서 분모가 같을 경우에는 분자로 나눌 수 있다. 이것은 그림으로도 나타내어 매우 쉽게 느껴진다. 

$$ 3 \div 1 = 3 $$

그래서 몫은 3이 된다. 중요한 것은 분수의 나눗셈도 자연수의 나눗셈처럼 생각할 수 있다는 것이다. 이것이 초등학교 분수를 이해시키는 기초가 된다. 그래서 나눗셈을 잘 이해하고 있어야 한다. 나눗셈이 선수학습인 것이다. 

그렇다면 이번에는 분자가 딱 떨어지지 않는 경우는 어떻게 몫을 표현할 것인가.

$$ \frac{5}{7} \div \frac{2}{7} $$

이것도 분모가 같기 때문에 5 ÷ 2 로 표현할 수 있다. 다섯 개가 있는데 두 사람이 나눠 먹는다. 그러면 한 사람은 몇 개를 먹겠는가. 2개씩 먹고 나머지 1개를 반으로 나눠 먹을 것이다. 이것을 분수로 표현하면 \( 2 \frac{1}{2} \)이다. 

세 번째로 분모가 다를 경우엔 어떻게 하겠는가? 

$$ \frac{3}{5} \div \frac{2}{7} $$

앞에서 배운대로 분모가 같게 만들어보자. 그러면 

$$ \frac{21}{35} \div \frac{10}{35} $$ 

이 되어서 \(21 \div 10 \) 이 된다. \( 2 \frac{1}{10} \) 이 된다. 

 

자연수 ÷ 분수의 꼴의 계산

귤 6kg을 \( \frac{3}{4} \)시간동안 땄다. 1시간 동안에는 얼마나 따게 될까? 란 문제를 풀어보자.

문제에서 보면 6kg을 \( \frac{3}{4} \)시간 땄으니, \( \frac{1}{4} \)시간에는 2kg을 딴 셈이 된다. 이것을 식으로 나타내면

6kg ÷ 3 = 2kg 이다. 1시간이 되려면 4분의 4이니까 4개가 있으면 된다. 그러니까 8kg이 답이 된다. 이를 식으로 나타내면 

$$ 6 \div 3 \times 4 = 8 $$

교과서에는 이렇게만 설명되어 있고 다시 다음으로 넘어간다. 

분수의 나눗셈을 분수의 덧셈으로 바꿔서 풀기

물론 답을 알고 있는 사람이 있을 것이다. '나누기 분수' 형태를 '곱하기 역수'꼴로 바꾼다는 것을 우리는 다 알고 있다. 다음에는 분수의 나눗셈을 다루고 있다. 앞에서는 분모가 다른 분수끼리의 나눗셈을 분모를 통분해서 계산하는 것을 보았었다. 

 

문제를 살펴보자.

\( \frac {4}{5} \) L를 빈 물통에 넣었더니 \( \frac {2}{3} \) 만큼 채워졌다는 것이다. 한 통이 다 차면 몇 L인가에 대한 문제이다. 만일 2통이 가득 찼다고 하면, \( \frac {4}{5} \div 2 \)라고 할 것이다. 그런데, \(\frac{2}{3} \) 만큼 찼다고 했으므로

$$ \frac {4}{5} \div \frac {2}{3} $$

라는 식을 세울 수 있다. 

어차피 물통의 3등분의 2이므로  \( \frac {4}{5} \div 2 \) 가 된다.

즉 물통의 3분의 1에 해당하는 물의 양은 \( \frac {2}{5} \) 가 된다. 한 통을 가득 채우려면 3분의 1의 양이 3배가 되어야 하니까 \( \frac {2}{5} \times 3 = \frac {6}{5}  \) 이 되어 \( 1\frac{1}{5} \) 가 된다. 

 

결론은

분수의 나눗셈은 통분을 해서 분자끼리 나누거나, 나누기 뒤의 분수를 곱하기 분모와 분자를 바꾼 역수로 곱하면 된다는 것이다. 우리가 흔히 알고 있는 '나누기 분수'를 '곱하기 역수'라는 공식으로 빨리 계산하는데, 원리로 계산하다 보니, 분자에 해당하는 수로 나누게 되고(그래서 분모로 위치하게 되고), 분모에 해당하는 수로 곱하게 되어(그래서 분자의 위치로 가게 됨) '곱하기 역수'라는 기술이 생기게 된 것이다. 물론 계산을 빨리 하기 위해서는 이 기술이 좋긴 하다. 하지만, 적어도 한 번쯤은 분수로 나눈다는 의미를 생각해보고, 나눗셈에서의 몫이 어떤 의미인지 한 번은 생각해 보는 것이 중요할 것 같다. 이 원리들을 잘 이해하고 있다면 중학교에 나오기 시작하는 유리수에 대해서 이해하는 데 도움이 될 것이다.